《正态分布》教案 2 教学目标：

　知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。

　过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

　情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。

　教学重点：

　正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0 ， 1) 。

　教学难点：

　通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

　教具准备：

　多媒体、实物投影仪 。

　教学设想：

　在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基 本、最重要的一种分布。

　内容分析：

　1 •在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 •在上一节课我们研究了当 样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线， 总体密度曲线较科 学地反映了总体分布 •但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分 2 由此可见，正态分布是由它的平均数 □和标准差 b 唯一决定的+常把它记为 N("F )

　3. 从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为 卩时取最大值.从 x= □点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的+ 4. 通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特 5 •由于正态分布是由其平均数 1 和标准差 b 唯一决定的，因此从某种意义上说，正态 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 种分布. 2 •正态分布是可以用函数形式来表述的 彳 ( X-H 2

　2- ,x (_ ：：

　, ：：

　) V2 HCT•正态分布在统计学中是最基本、 最重要的一 +其密度函数可写成：

　(b > 0 ) x= ，并在 x= x 轴，但永不与 x

　分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 •但我们也发现，许多正态分布中， x

　_ I F(x)M(^) 重点研究 N( 0 ， 1 )，其他的正态分布都可以通过 & 转化为 N (

　0 , 1 )，我们 1 J 2

　F(x)= 〒 e^ 把 N ( 0 , 1 ) 称为标准正态分布，其密度函数为 J2 肚

　, x € ( - a, + 8), 从 而使正态分布的研究得以简化 . 6 •结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 •正态曲线的作图较难，教科书没 做要求，授课时可以借助几何画板作图， 学生只要了解大致的情形就行了， 关键是能通过正 态曲线，引导学生归纳其性质 + 教学过程：

　学生探究过程：

　复习引入：

　总体密度曲线 ：

　样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组 取值的概率.设想样本容量无限增大， 分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会无限 接近于一条光滑曲线 ， 这条曲线叫做总体密度曲线.

　 它反映了总体在各个范围内取值的概率. 根据这条曲线，可求出总体在区间 ( a , b ) 内取 值的概率等于总体密度曲线，直线 x = a , x = b 及 x 轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特 征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

　1

　空 仏 x)= 〒厂 e 彳话 *(皿严) 式中的实数"、二(二 0) 是参数，分别表示总体的平均数与标准差， *二 X ) 的图象 为正态分布密度曲线 ， 简称正态曲线. 讲解新课:

　一般地，如果对于任何实数 a ：：：

　b ，随机变量 X 满足 b P(a :: X 曲)= . a

　gx)dx 5 则称 X 的分布为正态分布( normal distribution ) .正态分布完全由参数 "和匚确 2 2 定，因此正态分布常记作 N("F )

　•如果随机变量 X 服从正态分布，贝 y 记为 X 〜 ) . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之 和，它就服从或近似服从正态分布. 例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小 木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落， 因此小球第 1 次与高尔顿 板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果， 所以它近似服从正态分布. 在现实生活中， 很多随机变量都服从或近似地服从正态分布. 例如长度测量误差； 某一地区同年龄人群的身 高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条 件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿 命等)；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.因此， 正态分布广泛存在于自然现象、 生产和生活实际之中. 正态分布在概率和统计中占有重要的 地位. 说明 :1 参数"是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本均值去佑计；二是 衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. 2. 早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用 n !的近似公式得到了正态分布.之后，德国 数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它， 并研究了它的性质，因此，人们也称 正态分布为高斯分布.

　2 2 .正态分布 N（7 二 ）

　）是由均值□和标准差 b 唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

　 3 •通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右 对称•正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上•讲课时教师可以应用几何画板， 形象、美观地画出三条正态曲线的图形， 结合前面均值与标准差对图形的影响， 引导学生观 察总结正态曲线的性质 ・ 4 .正态曲线的性质：

　（ 1 ）

　曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交+ （ 2 ）

　曲线关于直线 x= 卩对称• （ 3 ）

　当 x= □时，曲线位于最高点 + （ 4 ）

　当 x V □时，曲线上升（增函数）；当 x ＞卩时，曲线下降（减函数）

　+并且当曲

　线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近

　(5) □一定时，曲线的形状由 6 确定. b 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 6 越小•曲线越“瘦高” •总体分布越集中：

　五条性质中前三条学生较易掌握， 后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原 则，采用对比教学 + 5. 标准正态曲线 ：

　当 =0 、 6 =1 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示

　其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体 N( 0 , 1 )在正态总体的研究中占有重要的地位 "任何正态分布的概率问 题均可转化成标准正态分布的概率问题 讲解范例: 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值 f(x) (1) (3) (1)0 , 1 ； (2)1 , 2 ; (3)-1 , 0.5 例 2 求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率. 解：利用等式 P 『："( X 2 ) -G ( x 1 ) 有 p - 门 ( 2) —门(一 1)- 门( 2) …-……1 1 =门 ( 2) G (1 ) -1 =0. 9772 + 0. 8413 — 1=0.8151 . 1. 标准正态总体的概率问题X 2

　式是 1 一 f (x) 飞 e2

　(- 8V X V + 8) (2) f(x) 1 a」) 2

　、 2 严8 …宀 f(x) 2 _2(x 1) 2

　答案:

　 y

　对于标准正态总体 N （ 0 , 1 ）,① （ X 。

　）

　是总体取值小于 X 。

　的概率， 即门 （ X 。

　）

　=P（X ：：

　: X o ）

　其中 X 。

　0 ，图中阴影部分的面积表示为概率 P （ x ：：：

　Xo ）

　+只要有标准正态分布表即可 查表解决 . 从图中不难发现 ：

　当 X 。

　”：°时，「（ X 。

　）

　二1

　i ：

　」 （ - x 。

　）

　；而当X o= 。时， o （ 0 ）

　=0. 5 . 2. 标准正态分布表 标准正态总体 N（ 。， 1 ）

　在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了 “标准 正态分布表” •在这个表中，对应于 X 。

　的值“ （ X 。

　）

　是指总体取值小于 X 。

　的概率，即 ① （ X 。

　）

　= P（x c x 。

　）

　（ x 。

　K 0）

　若 X 。

　£ 。

　，则① （ X 。

　）

　=1 — ① （ ―X 。

　）

　• 利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间 （ Xl ， X 2 ）

　内取值的概率，即直 线 X= Xi

　, X=X 2 与正态曲线、 X 轴所围成的曲边梯形的面积 P（X i :: X : ：

　X 2 ）

　= 「（ X 2 ）

　- 「（ X i ）

　x — 4 F（x）M（—）

　3.

　非标准正态总体在某区间内取值的概率 ：

　可以通过 " 转化成标准正 态总体，然后查标准正态分布表即可 •在这里重点掌握如何转化 •首先要掌握正态总体的均 值和标准差，然后进行相应的转化 - 4. 小概率事件的含义 发生概率一般不超过 5 %的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 • 假设检验方法的基本思想 ：

　首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率 事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲” 是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体;

　 二是确定一次试验中的 a 值是否落入 ( [1 - 3 ( T , [1 +3 a ) ;、 三是作出判断. 讲解范例：

　例 1. 若 x 〜 N (0, 1), 求 (I) F (- 2. 32< x <1. 2) ; (2) F ( x >2). 解：

　(1) F (- 2. 32< x <1.2)=G(1. 2)- ：.：」 (-2. 32) =：」( 1.2)-[ 1- ：

　. ：

　」( 2. 32)]= 0. 8849-( 1-0. 9898)=0.8747. (2)R x >2)=1-R x <2)=1- G(2)=l- 0. 9772=0. 0228.. 例 2 .利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率: (1) 在 N(1, 4) 下，求 F( 3 ) a 2 ) 下，求 F( F( 1 — 1.84 a , 1 + 1.84 a ); F( 1 — 3 a , 1 + 3 a )

　P +CF 6(—— (2)F( 1 + a )= k -CT -k ) =o (— 1 )=1—①( 1 )= 1 — 0. 8413 = 0.1587

　 1+ 2 a )—F( i — 2 a )= 0. 954 1+ 3 a )—F( i — 3 a )= 0. 997

　 在区间( 1 - a , 1 + a) 、( 1 -2 a, 1 +2 a ) 68.3% 95.4% 99. 7% +因此我们时常只在区间( 况，而忽略其中很小的一部分 ” F( a

　, 1+ a)=F( 1+a)—F( i—a)= 0. 8413 — 0. 1587 = 0. 6826 F( 1 — 1.84 a , 1 + 1.84 a )=F( 1 + 1. 84 a )—F( 1 — 1. 84 a )= 0. 9342 F( 1 — 2 a , 1 + 2 a ); ① (□) 解: (1) F

　(3) = 2 =① (1 )= 0. 8413 ) =0( 1 )= 0.8413 F(1— a] I F( 1 一 2 a , F( 1 — 3 a , 1 -3 a , 1 +3 a )内取值的概率分别为 1 -3 a, 1 +3 a )内研究正态总体分布情

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